Cómo Equilibrar Múltiples Productos con Pedidos a la Medida

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 ¡Ah, la gestión de inventarios, un baile encantador entre la demanda y la eficiencia! ¿Alguna vez te has preguntado cómo las empresas mantienen sus estantes abastecidos sin excederse ni quedarse cortos? Bueno, en el mundo empresarial, eso es un arte en sí mismo.

Imagina una tienda con múltiples productos: Cada uno tiene su propia demanda, su costo de ordenar, su precio unitario y, por supuesto, su propia historia de pedidos. Ahora, ¿Qué sucede cuando intentamos equilibrar estos números para mantener el flujo sin romper el banco?

Vamos a sumergirnos en un caso práctico: una tabla llena de datos sobre artículos, sus demandas anuales, costos de ordenar, costos unitarios y, lo más interesante, la necesidad de ajustar las cantidades por pedido para cumplir con una restricción de pedidos totales al año. Es como una coreografía numérica para asegurarnos de que nuestras órdenes no superen cierto límite.

La gestión de inventarios no solo es un juego de números, es un ejercicio de estrategia y optimización. Ajustar las cantidades de pedido para cumplir con restricciones específicas nos permite mantener el control sin sacrificar la eficiencia.

Vamos a adentrarnos en este fascinante mundo de números y restricciones, ¡donde la optimización es la clave para mantener el equilibrio perfecto en la gestión de inventarios!

Ejemplo Práctico.

La tabla de abajo contiene los datos relacionados al proceso de pedidos actuales por separado e individuales, además de sus costos para cada ciclo anual.

Datos	Articulo 1	Articulo 2	Total
Demanda (Dj en unidades/año)	10000	20000	30000
Costo de Ordenar (Coj en $/orden)	$300	$300
i (interés o costo de capital)	20%	20%	20%
Cj (Costo Unitario del Artículo en $/unidad)	$20	$25
Qj (Cantidad por ordenar del articulo j)	1222.74	1549.19	2773,93
TCj (Costo total de inventario para el articulo j)	$4898.98	$7745.97	$12644,95
Nj (número de ordenes individuales al año)	8.16	12.91	21

 Miremos esos datos con lupa:

Para el artículo 1, tenemos una demanda anual de 10,000 unidades y un costo de ordenar de $300 por pedido. Con un interés del 20% y un costo unitario por artículo de $20, calculamos una cantidad óptima por pedido de aproximadamente 1222.74 unidades, resultando en un total de 8.16 pedidos al año y un costo total de inventario de $4898.98.

Por otro lado, para el artículo 2, la demanda anual asciende a 20,000 unidades, con un costo de ordenar igualmente de $300 por pedido. Con un costo unitario de $25 y el mismo interés del 20%, la cantidad óptima por pedido es de aproximadamente 1549.19 unidades. Esto conduce a 12.91 pedidos al año y un costo total de inventario de $7745.97.

Cuando sumamos ambas cantidades de pedidos individuales, obtenemos un total de 21 pedidos al año para ambos artículos.

Sin embargo, hay una restricción: queremos que el número total de pedidos al año sea igual o menor a 15. Ahora, si observamos la suma actual, ¡tenemos un pequeño problema! La suma de los pedidos individuales supera nuestra restricción.

Por lo tanto, aquí entra la magia: necesitamos ajustar las cantidades por pedido para cumplir con nuestra restricción de 15 pedidos al año. Es como resolver un rompecabezas, ¡pero con números y estrategia!

Vamos a ajustar las cantidades por pedido para ambos artículos de manera que, al sumar los pedidos individuales, no excedamos nuestro límite de 15 pedidos al año. Esta optimización nos permitirá gestionar eficientemente nuestros pedidos y mantener un control adecuado sobre nuestros inventarios.

 

La estrategia actual de realizar pedidos por separado ha generado un desafío: Aunque las cantidades individuales exploran la eficiencia de costos por separado, la suma total de pedidos asciende a 21.07 al año, superando la solicitud de mantenerlos en 15 o menos.

Sin embargo, ¡Hay una solución ingeniosa! Podemos ajustar esta política al combinar ambas curvas de costos totales. Al sumar las eficiencias individuales de pedido, se crea una nueva perspectiva que nos permite controlar el número total de pedidos al año. Este enfoque integrador nos brinda la oportunidad de optimizar aún más nuestro modelo, asegurando que se mantenga dentro del límite de 15 pedidos al año.

Al introducir la restricción de que el número total de pedidos sea igual a "N", podemos refinir nuestro enfoque y encontrar la estrategia óptima que no solo garantice costos eficientes a nivel individual, sino que también cumpla con la solicitud de mantener un número de pedidos igual o inferior a 15 al año. Esta táctica nos permite fusionar lo mejor de ambos mundos, maximizando la eficiencia sin sacrificar el control sobre los pedidos.

 

Sujeto a

¡El método del multiplicador de Lagrange es una joya para ajustar nuestras restricciones! Cuando necesitamos cumplir con un número específico de órdenes, esta técnica nos permite ajustar el costo de ordenar para alcanzar ese objetivo sin perder de vista la eficiencia.

La nueva función L utilizando el multiplicador de Lagrange adoptaría una forma que incorpora nuestra restricción deseada. En este caso, nos aseguramos de que el número total de órdenes sea igual a "N".

La función Lagrangiana, denotada comúnmente por L , se construye al introducir este multiplicador de Lagrange, que ayuda a incorporar nuestra restricción en la función objetivo original. Esta nueva función, L, será una combinación ingeniosa de la función de costos originales, las restricciones existentes y el multiplicador de Lagrange, lo que nos permitirá optimizar el costo de ordenar para alcanzar el número deseado de órdenes.

Con esta nueva perspectiva, podemos asegurarnos de que nuestra política de pedidos sea más flexible y adaptable, ajustando el costo de ordenar para cumplir con la restricción específica de tener un número determinado de órdenes al año. Este enfoque nos brinda una herramienta poderosa para mantener el equilibrio entre la eficiencia de costos y el cumplimiento de restricciones particulares.

 

¡Ah, la ecuación misteriosa! Aquí hay una manera amigable de describir esta combinación de números y restricciones:

Imagina que estás en una búsqueda del tesoro matemático. Tienes esta fórmula, \( L \), que es como un mapa para minimizar los costos en pedidos. Los dos primeros términos de esta fórmula provienen de una especie de fórmula de costos mágica, ¡como una receta secreta! Estos términos nos dicen cuánto cuesta todo el asunto.

Ahora, el último término es un poco como una regla del juego. Se asegura de que la diferencia entre el número total de pedidos y nuestro objetivo, los 15 pedidos soñados al año, ¡sea cero! Es como decir: "Oye, no te pases de la raya, solo queremos esos 15".

La genialidad aquí es que esta fórmula, \( L \), no se vuelve loca con la contribución del multiplicador. Es como si dijéramos: "Hey, multiplicador, gracias por estar aquí, pero esta fórmula se maneja sola".

Entonces, con esta fórmula mágica, estamos resolviendo el enigma de los pedidos, asegurándonos de que minimizamos costos y, al mismo tiempo, respetamos esa regla de los 15 pedidos al año. Es un juego de equilibrio numérico que nos lleva a esa tierra prometida de la eficiencia en pedidos. ¡Vamos a descifrar juntos este enigma matemático!

¡Claro, la aventura matemática continúa! Ahora estamos en busca de esa cantidad perfecta de pedido que minimizará nuestros costos totales. Así que, vamos a diferenciar esa fórmula mágica L respecto a la cantidad Q_k de un artículo en específico.

Esta derivada nos lleva directo a la cantidad económica de pedido que representa el punto exacto donde nuestros costos totales son mínimos. Imagina esto como encontrar el punto dulce en una receta: ¡es el equilibrio perfecto que buscamos!

El truco aquí es igualar esta derivada a cero. Es como decir: "¡Detente! ¡Estamos en el punto óptimo!". Este número que encontramos, ese Q_k especial, es la cantidad que nos garantiza minimizar los costos totales para ese artículo en particular.

Es un poco como buscar el punto justo en el que gastamos lo menos posible, ¡Pero obtenemos lo máximo en eficiencia! Este es el súper poder de las matemáticas: Encontrar ese punto de equilibrio que nos permite ahorrar mientras mantenemos nuestro flujo de pedidos eficiente. ¡Estamos casi ahí, en la cima de la montaña matemática!

 

La notación de esta cantidad de pedido modificada casi parece una versión mejorada del pedido original. ¿Qué tiene de especial? Bueno, ¡se le suma el valor del multiplicador de Lagrange al costo por pedido! ¿Cómo interpretarlo? Piénsalo como un extra, un costo adicional que estamos dispuestos a pagar para alcanzar esa meta dorada de pedidos que nos han solicitado.

Por eso, encontrar este multiplicador es crucial. Para hacerlo, necesitamos... ) se tiene lo siguiente:

¡Entonces estamos un paso más cerca de descifrar este enigma matemático! Si ya conocemos la restricción del número de pedidos, tenemos una pieza clave del rompecabezas.

Al reemplazar  la cantidad de pedido (3) en la restricción del número de pedidos (2) y resolviendo para  se tiene:

 

 

 

 

Esto se cumple para de lo contrario se consideraría que el modelo cae en la región de no factibilidad (se recomienda usar otra herramienta).

Utilizando la formula del multiplicador de Lagrange (4) en el ejercicio de ilustración se obtiene lo siguiente:

¡Una interpretación del multiplicador de Lagrange brillante! Piénsalo como ese pequeño "extra" que estamos dispuestos a pagar para cumplir con esa restricción tan importante de mantener nuestros pedidos por debajo de 15 al año.

Entonces, si estamos agregando $292,20 por cada pedido, estamos básicamente haciendo un pequeño ajuste a nuestros costos. Es como si estuviéramos dispuestos a pagar un poquito más para asegurarnos de mantenernos dentro de esos límites que nos hemos propuesto.

Ahora, en cuanto a las cantidades económicas de pedido conjuntas que obtenemos a partir de esa ecuación de pedido (3) que hemos estado manejando, ¡es el momento de ver los números! ¿Cuáles son las cantidades mágicas que minimizan nuestros costos y mantienen todo dentro del límite?

¡Perfecto! Parece que hemos encontrado la estrategia mejorada para gestionar nuestros pedidos. Esa cantidad de pedido ajustada nos lleva a una política más eficiente. ¿No es emocionante?

Entonces, para el artículo 1, la cantidad óptima de pedido se establece en 1720,72 unidades, que redondeamos a unas elegantes 1721 unidades. ¡Es como encontrar el ajuste perfecto para mantener nuestro flujo de inventario en su mejor forma!

Mientras tanto, para el artículo 2, el número mágico es de 2176,61 unidades, o simplemente redondeado a 2177 unidades.

Ahora, ¿cuántos pedidos estamos haciendo al año para cada artículo? Estoy emocionado de ver cómo se despliega esta estrategia mejorada.

Entonces, si estamos ordenando alrededor de 1721 unidades por pedido, ¡Eso significa que estamos haciendo aproximadamente 6 pedidos al año! Es como si estuviéramos marcando nuestro calendario para esos momentos especiales en los que recibimos esos paquetes llenos de inventario. Con esa frecuencia de 6 veces al año, estamos asegurándonos de mantener nuestro flujo de productos fresco y dinámico.

 

Con la cantidad óptima de alrededor de 2177 unidades por pedido, ¡Estamos realizando aproximadamente 9 pedidos al año para mantener nuestro inventario en forma! Es como tener esos momentos programados en el calendario para recibir nuestra dosis de existencias y mantenernos en marcha. Con esta frecuencia de 9 veces al año, estamos asegurando un flujo constante y eficiente de productos, manteniendo nuestros estantes siempre frescos y llenos.

¡Y aquí está el asombroso detalle! Al sumar los pedidos individuales para ambos artículos, obtenemos la suma mágica de 15 pedidos al año, justo como queríamos. Esto significa que estamos cumpliendo a la perfección con esa restricción que nos habíamos fijado. ¡Es todo un logro en la gestión de pedidos!

Ahora, si observamos la relación entre la cantidad de pedidos individuales y la cantidad de pedido conjunta, podemos calcular el ahorro en términos porcentuales, ¡y eso es algo que siempre nos gusta saber!

¡Esa reducción del 40,5% en la cantidad del pedido es increíble! ¡Estamos hablando de una mejora significativa en la eficiencia de pedidos para ambos artículos! Es genial ver cómo esos pequeños ajustes pueden marcar una gran diferencia en la gestión de inventarios.

Si necesitas una hoja de cálculo para reproducir o usar esta resolución en el ejercicio, estaré encantado de asistirte. Podemos crear un archivo descargable que contenga todos los cálculos, las fórmulas y los detalles para que puedas explorarlos o utilizarlos más adelante.

EOQ_múltiple_órdenes 

Créditos a: Operations and Supply Chain Management by Prof. G. Srinivasan , Department of Management Studies, IIT Madras

Referencia: